数学史融入小学教学案例设计与解析

 　　笔者先提出数学史融入教学的重要性, 然后分析目前教学中所存在的教学方式的问题。最后, 笔者以“数学广角——鸡兔同笼”这节课为例, 将数学史融入该教学案例的设计与解析。

　　《数理天地》本刊用稿以数学、物理、学科交叉、科普等稿件为主，主要栏目有：基础知识精讲、解题思想和方法、中高考高分之路、数学与物理竞赛、数理结合、科普知识等。

　　数学是人类文化中最重要的一种文化, 是人类文化发展中的一个重要标志[1]。小学阶段的数学学习对小学生之于课程的认知具有深远的影响, 教师要仔细认真地研究我们的小学数学教材, 对课堂教学负责。不能让学生对数学产生“讨厌”的想法。若其带着厌恶的心理被迫在数学学习上投入时间和精力, 这样是不符合我们的素质教育思想, 对学生的成长也有不利影响。那抽象理性的数学跟具体感性认知的小学生之间该用什么桥梁来联系呢?研究表明, 教学过程中适时地融入数学史料就是一种可行的做法。这也符合我们课程标准中的课程教育理念。

　　1、数学史的重要性

　　数学史是数学文化传播的一种重要的体现形式。数学史之于数学教学的价值早在19世纪就被一些西方数学家所认识。1972年, 在英国埃克塞特 (Exeter) 召开的第二届国际数学教育大会上, 成立了数学史与数学教学关系国际研究小组 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称HPM) 。1976年, HPM开始隶属于国际数学教育委员会 (ICMI) 。其中就有一个工作小组负责如何纳数学史为一种数学工具, 也就是:在数学课程中, 试着为数学史寻求一个定位。这样的研究群组目的是结合数学史与数学教学, 以便提升数学教育的成效。

　　数学史对激发学生的学习兴趣, 培养学生的品格和思想, 熏陶学生不畏艰难的性格等都有重要的作用。现在世界上越来越多的国家开设数学史课程, 而且大都从培养爱国主义的狭隘天地转向为培养能力和思想。从数学史可清楚看出, 无论是数学的概念还是数学的运算、规则等都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结, 数学教育如果脱离了那些丰富多彩而又错杂的背景材料, 就将成为“无源之水, 无本之木”。数学教育是现实数学的教育。

　　2、存在的问题

　　但通过一些公开课的观察发现:数学史融入小学课堂依旧简单机械, 过于生硬。很多教师都是在数学课堂开始或者结束前增加一个介绍数学史料的环节, 如数学家的生平故事、概念的发展历程、有趣的历史名题等, 以此试图激发学生的学习兴趣, 为课堂增添一抹亮色。增加的数学史料形式上图文并茂, 配上动听的音乐, 确实让学生在枯燥的数学学习中感觉到了一丝新鲜。但是, 如此处理数学史料, 不过是停留在知识拓展的低水平状态, 对历史进行简单的拼凑, 使得数学史料与小数学课堂产生裂痕。所以说将数学史料融入小学数学课堂绝不应仅仅是简单的嫁接或移植。我们要选取行之有效的数学史方面的教学素材, 采用与一般模式不同的教学方式, 将数学史很自然地融入小学数学课堂, 让学生站在古人的肩膀上体会数学思想, 感受数学的魅力, 欣赏数学, 爱慕数学, 享受数学。

　　3、数学史融入教学案例设计与解析

　　笔者选取人教版小学数学四年级下册第九章“数学广角——鸡兔同笼”这一教学片段来进行教学设计并进行此课堂教学案例效果分析。数学名题之所以流传不衰, 其中蕴含了丰富的数学思想方法。鸡兔同笼问题实质上是用“二元一次方程组”解决问题的一个经典数学名题。公元400年, 中国古代数学着作《孙子算经》成书, 王卷当中卷下第31问记录了着名的“稚兔同笼”问题:今有稚兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足。问稚、兔各几何?答曰:稚二十三, 兔一十二。解答方法之一便是:上置三十五头。下置九十四足。半其足, 得四十七。以少减多, 再命之。上三除下四, 上五除下七。下有一除上三, 下有二除上五, 即得。解答方法之二是:上置头, 下置足。以头除足, 以足除头, 即得[2]。其中渗透了化繁为简、数形结合、数学模型这些数学思想。在小学阶段, 人教版四年级下册《数学广角》从《孙子算经》的经典数学名题引入, 主要要求学生用列表法、假设法来解决问题, 在阅读资料中也介绍了抬脚法。鸡兔同笼问题实质上是鸡兔同笼类的问题。如在清代李汝珍的着作《镜花缘》中第93回众才女在小整山赏灯时, 出现了两个与“稚兔同笼”问题的数量关系相互类似的问题。

　　灯谜一:大厅有两种灯, 一种挂1个大球, 下挂2小球;另一种挂1个大球, 下挂4个小球。大球共挂360个, 小灯球共挂1 200个。两种灯各有多少盏?

　　灯谜二:楼上有两种灯, 一种灯上挂3个大球, 下挂6个小球, 大小球总共9个是一盏灯;另一种灯上挂3个大球, 下挂18个小球, 大小球总共21个是一盏灯。大灯球共396个, 小灯球共1 440个。两种灯各有多少盏?

　　文中, 才女兰芬对灯谜一给出的解答为:“将小灯球1 200减半为600, 用大球360减之, 剩下240, 是240盏四小球灯;用360减去240, 剩下120, 是120盏二小球灯。”这一中解题的思考方法跟《孙子算经》中“稚兔同笼”的“半足法”的思考方法相同, 先把1 200个小灯球减去一半变为600个, 然后用600减去大灯球的个数360, 剩下240, 就是四小球灯的数量。再用大灯球个数360减去240, 剩下120, 就是二小球灯的数量。写成算式就简洁明了:

　　1 200÷2=600 (个)

　　600-360=240 (盏)

　　兰芬对灯谜二的解法是:“先把一千四百四十减半成为卡百二十, 用大球三百九十六减之, 剩余三百二十四, 用六归之, 得五十四, 是挂十八小球灯五十四盏;用三乘五十四, 得到一百六十二, 减去大球三百九十六, 剩余二百三十四, 用三归之, 得到七十八, 就是挂六小球灯的数目[3]”。

　　简而言之, 就是先把小灯球数减半, 再用720减去大灯球数量396得到324, 用324除以6得到54, 用54乘3得到162, 用大灯球数396减去162得到234, 最后234除以3等于78, 就是挂6个小球的灯的个数。这一算法显然是借鉴了《孙子算经》中的“半足法”。古籍中类似这样的题可以介绍给学生一观。在国外, 由于引用的典型例子不同, 有不同的名称。如日本是用龟鹤代替了鸡兔, 所以把这类题称为龟鹤同游问题。人们还以猎人与狗为素材创编了儿歌。因此这类问题又可以称为“人狗同行”问题。在引导学生解决了“鸡兔同笼”问题后, 教师可以进一步列举“龟鹤同游问题”和“人狗同行”问题。如笔者在讲完鸡兔同笼题后, 继续深入。

　　教师:不仅中国人研究这类问题, 日本人也研究, 他们称鸡兔同笼为龟鹤问题 (龟鹤同笼, 共有40个头, 112只脚, 问龟、鹤各有几只?) 。提问:日本人说的龟鹤跟我们说的鸡兔有关联吗?

　　学生:鹤跟鸡一样, 都有两只脚, 龟和兔一样的, 都有四只脚。

　　教师;那么这道龟鹤同笼问题你能解决吗?

　　预设:龟 (112-40×2) ÷2=16 (只) , 鹤40-16=24 (只) 。

　　小结:龟鹤同笼和鸡兔同笼是具有相同思考方法的同一类型的数学问题。

　　教师:教师在搜索这类数学问题时, 还发现一首有趣的儿歌。

　　儿歌:一队猎人一队狗, 两列并成一队走。数头共有五十五, 数脚共有一百九。

　　教师:我们已经学习了鸡兔同笼, 龟鹤同笼。那么这首儿歌大家也取个名字。

　　学生:人狗共走。

　　教师:把人狗共走的儿歌跟鸡兔同笼比较, 你有什么想法吗?

　　学生:我觉得它跟鸡兔同笼问题是一样的, 猎人相当于鸡, 有两只脚。狗相当于兔, 四只脚。所以解决问题的思考方式相同。

　　教师:同学们同意他的理解方式吗?

　　学生:同意。

　　教师:看来同学们已经能够把握住了这类题目的关键, 找到了它们的数量关系。

　　板书:两只脚:猎人-鸡-鹤, 四只脚:狗-兔-龟。

　　教师:我们回顾这堂课, 从鸡兔同笼演变到龟鹤同游, 再演变到人狗同行, 你有什么发现吗?鸡兔同笼这一历史名题吸引古今这么多人去解有什么独特的魅力?

　　学生1:鸡兔同笼的思考方法很有趣。

　　学生2:甚或中好多种和鸡兔同笼类似的情况。

　　“鸡兔同笼”问题的教学就是通过实际生活情境, 让学生领悟“发现、抽象、简化、解决、处理”问题的整个思维过程。通过“鸡兔”的具体讲解, 引导学生初步对问题本质提炼之后, 然后通过“龟鹤”“人狗”两个不同情境突出数量差异的变化, 进而提炼出简单的问题模型。最后, 如果要完成模型的建构与应用, 则应该将模型演绎到学生的各种生活情境和问题情境中, 促进学生对模型的进一步内化。从数学模型的建构角度来说, 学生先对鸡兔同笼问题做了初步的提炼, 教师通过搜集国外的数学史料, 提出问题变式, 让学生进一步去埋解识别模型。在情境和数字的“变化”中体会到问题“结构”和分析思路上的“不变”, 进而形成此“类”问题的思维模型。通过这一融入国内外数学名题教学, 学生不仅经历了生活问题数学化的过程, 而且感受到数学模型的为量和经典历史名题魅力长存的秘密。

　　让学生在数学史的背景下感受数学的魅力, 教师通过这种形式渗透数学思想, 这是数学教师应当努力去尝试和创新的一个方向, 让数学变得有趣真实奇妙。

　　参考文献：

　　[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.

　　[2]陈钢.《孙子算经》及鸡兔问题[J].湖南教育, 1995 (2) :44.

　　[3]郜舒竹.“鸡兔同笼”算法源流[J].教学月刊:小学版 (数学) , 2012 (7/8) :26-29.

《数学史融入小学教学案例设计与解析》

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