结构动力学系统物理参数

 　　在动力学响应分析过程中，系统辨识起着十分重要的作用，结构动力学系统的物理参数辨识一直是结构动力学领域的研究热点。本文主要研究结构动力学系统物理参数。

　　《动力学与控制学报》2003年创刊，是一般力学与控制学科的学术性刊物，它遵循理论与实际并重、理论研究与工程实际紧密结合的方针，主要刊登该学科各个分支及其相关领域具有创造性的能够反映学科水平的理论、实验和应用研究论文，并适量刊登综述性专题论文，以促进科学的发展.读者对象主要为从事动力学与控制以及相关工作的科研与工程技术人员、高等院校师生等。

　　提出了一种动力学系统的物理参数辨识方法。应用Padé多项式对动力学系统的动刚度曲线进行拟合，通过最小二乘法确定Padé多项式中的系数矩阵，利用遗传算法对Padé拟合式中的参数进行优化，从而得到系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。数值算例表明该方法具有较高的辨识精度且适用于黏性阻尼系统和非黏性阻尼系统。

　　Chen和Tsuei[2]同时考虑了黏性阻尼和结构阻尼来对系统的物理参数进行了辨识。Lee和Kim[3]对Chen和Tsuei的方法进行了改进，将原来方法拓展到多输入多输出系统，并在实验验证中发现，Tsuei等人的方法若从动刚度的角度出发，辨识过程将得到很大简化，且辨识结果受测量误差和噪声的影响较小。但是，正如Lee和Kim[3]在文中所说，利用结构动刚度进行动力学参数辨识的研究还很少。广泛应用于系统降阶及参数拟合的Padé多项式是一种曲线拟合方法。Chazot[4]等将Padé多项式用于黏弹性结构降阶，其计算效率与直接计算方法相比，得到很大提高。王学雷[5]提出了一种基于Padé近似的频域辨识方法，研究了基于积分最小二乘指标的SISO时滞系统频域辨识问题。叶华[6]等利用Padé多项式来逼近时滞环节，提出了一种时滞电力系统特征值的计算方法。Fournodavlos和Nestoridis[7]从数学角度也研究了Padé在参数拟合方面的应用。作者[8]在之前的研究中，曾研究过利用Padé多项式对频域广义气动力拟合，得到时域气动力表达式，进而研究带迟滞非线性环节二元机翼的气动弹性响应问题。本文从线性结构动力学系统的动刚度出发，采用Padé多项式拟合，对动力学系统的物理参数进行辨识。首先分别从黏性阻尼和非黏性阻尼两种动力学系统介绍了系统参数辨识方法，并通过数值仿真算例对两种动力学系统的物理参数进行辨识，验证了该方法具有较高的辨识精度。

　　1系统物理参数辨识方法

　　1.1黏性阻尼系统由式(11)，(13)可见，βi的取值会影响参数辨识的结果，因此，在对动刚度矩阵进行拟合时，需要对βi的取值进行优化，即βi值的确定为一个寻优过程。本文利用遗传算法对优化变量βi值的选取进行优化，优化目标为使得重构后的动刚度矩阵与原始的动刚度矩阵在关心的频率范围内其误差的范数最小，其中，重构的动刚度矩阵通过对重构的频响函数求逆获得。此时刚度矩阵也不再是一个常矩阵，但对黏性阻尼系统和非黏性阻尼系统来说，刚度矩阵都应是常矩阵，所以当辨识得到的阻尼矩阵和刚度矩阵不再是常矩阵时，说明之前假设的阻尼模型不恰当。由此可见，采用式(11)或(13)不仅可以辨识结构的阻尼，还能够在一定程度上反映出结构的阻尼机理：即如果识别出的频率修正项比较小甚至接近为零时，说明结构的阻尼为黏性阻尼，否则，结构的阻尼应按照非黏性阻尼模型重新辨识。

　　1.2非黏性阻尼系统对非黏性阻尼结构，其阻尼项一般用核函数的卷积分表示[10]，系统的运动方程可写为令c(t)=C0g(t)，C0为对称的正定系数矩阵，g(t)为核函数的类型。显然，当g(t)=δ(t)，δ(t)为狄拉克函数(Diracdeltafunction)时，式(15)退化为黏性阻尼系统。

　　2数值仿真算例

　　2.1算例1如图1所示的三自由度质量-弹簧系统，假设阻尼为黏性阻尼。本例中Padé多项式的取修正项数l=2，利用Matlab遗传算法工具箱对βi的取值进行优化，选择概率、交叉概率等参数的选取采用默认值(本文所有算例均采用默认值)，采用遗传算法得到的一组优化解为[β1β2]=[-1.4572.296]，相应地按照第1.1节的黏性阻尼系统辨识过程进行参数辨识，得到系数矩阵如下。然而，在实际情况中，往往存在模态截断的问题，此时，动刚度曲线为有限长度，即动刚度曲线没有覆盖全部模态，如本例中仅利用覆盖第一阶模态的0～2Hz频段内的动刚度曲线进行辨识，采用相同的辨识过程进行辨识，则遗传算法得到的一组优化解。

　　2.2算例2如图2所示的二自由度质量-弹簧系统，假设阻尼为黏弹性阻尼。

　　2.2.1用黏性阻尼模型进行辨识为了说明本文方法对系统阻尼模型的辨识功能，首先对算例给出的黏弹性阻尼系统采用黏性阻尼模型进行辨识。同样，取Padé多项式的修正项数l=2。可见，质量矩阵得到准确辨识，但识别得到的系统刚度矩阵不是常数阵，阻尼矩阵为实数矩阵，由前文所述可知，选用黏性阻尼模型对该系统进行辨识是不合理的。这里，仅给出在1～100rad/s频率带宽范围内，辨识得到的阻尼矩阵(或刚度矩阵)与原始阻尼矩阵(或刚度矩阵)中的一些元素随频率的变化曲线对比，如图3和4所示。由图3和4可见，虽然刚度矩阵中的元素K11和K22的最大相对误差分别为1.99%和3.32%，但已表现出随频率变化的特性，而且阻尼矩阵的虚部信息明显缺失，所以用于辨识的阻尼模型选用黏性阻尼模型是不合理的，应按非黏性阻尼模型进行辨识。

　　2.2.2用非黏性阻尼模型进行辨识当辨识阻尼模型选用非黏性阻尼模型时，采用前述针对非黏性阻尼系统的Padé多项式拟合法，对系统的物理参数矩阵进行辨识，取修正项数l=2。如图5所示为对βi的取值优化前，取不同βi值得到的辨识结果，其中实线表示的是松弛因子μ取100时的原始阻尼矩阵中的元素随频率的变化曲线。显然，需要按前一节所述对βi的取值进行优化。可见，松弛因子和系数矩阵得到了精确地辨识。在1～100rad/s频率带宽范围内，如图6所示为辨识得到的阻尼矩阵与原始阻尼矩阵的各个元素随频率的变化曲线对比(根据阻尼矩阵对称性，C21=C12，C22=C11)。显然，阻尼矩阵的辨识精度也相当高。当出现模态截断时，如本例中仅利用覆盖第一阶模态的0～20rad/s频段内的动刚度曲线进行辨识，采用相同的辨识过程进行辨识，则遗传算法得到的一组优化解为[β1β2][]=100.006128.503，辨识得到的系数矩阵如下。

　　3结论

　　(1)本文利用Padé多项式对系统的动刚度进行拟合，提出了动力学系统参数辨识的一种新方法，该方法同时适用于黏性阻尼系统和非黏性阻尼系统。并且，本文方法的辨识结果能够反映一定的阻尼机理，当频率修正项较小或接近为零时，用于辨识的阻尼模型应按黏性阻尼模型进行辨识;当频率修正项较大时，用于辨识的阻尼模型应按非黏性阻尼模型进行辨识。(2)本文以Padé多项式修正项中的参数为变量，求得辨识得到的动刚度矩阵与原始的动刚度矩阵之间的误差矩阵，以误差矩阵的范数为目标函数，通过遗传算法对修正项中的参数进行优化，从而提高Padé多项式曲线拟合的精度，辨识得到的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵具有较高的准确度。

《结构动力学系统物理参数》

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